本帖最后由 数学物理家园 于 2021-1-26 07:43 编辑
[通常意义下的归纳法有两种:不完全归纳法和数学归纳法 不完全归纳法指的就是归纳推理:能解释之前所有现象的假设有理由被接受 数学归纳法则是一种严格的数学证明程**不同于不完全归纳法推理结论的或然性，数学归纳法的推理结论具有必然性(肯定为真)，那么数学归纳法为何有效呢？
简单来说，如果数学归纳法的条件对于命题P(n)成立的话，那么由定义，P(1)为真，而根据递推性，P(2)成立，P(2)成立，则P(3)成立…………以此类推，这对于一切正整数n，P(n)均成立
上面的“证明”并不严谨，要想给出严谨的证明，必须回到正整数的定义。事实上，在皮亚诺公理系统(自然数的公理化定义)里，数学归纳法是作为一个公理给出的。。。数学归纳法的有效性与正整数集的良序性质(任意非空子集中都有最小数)是等价的，这点简单证明如下:假设N+(正整数集)具有良序性质，并且归纳法条件得到满足，但P不真，那么所有使P不成立的正整数里肯定有个最小的k(k＞1)，由定义，P(k-1)肯定成立，这样根据递推，P(k)成立，矛盾，故P(n)对于一切正整数均为真
假设归纳法作为公理给出，那么容易用归纳法证明:良序性质对于N+的任意有限非空子集均成立 现在，设A是N+的非空子集，a∈A，考虑集合｛1,2,……,a｝∩A，显然，它是有限的，于是它有个最小数m，m自然是A的最小数
归纳法还有一种版本，叫强归纳法(或者强归纳原理):对于一切n，若由P在小于n的正整数处都成立能推出P(n)成立，那么P(n)总是成立的 这个用良序性质很容易证明，事实上，归纳法(强归纳法)在一切良序集上均成立 作者：默x1537
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